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2011年东城一模的压轴题（第24题），有相当的难度，无论是在计算上还是在分析上。我们把这道题目的原题和具体解析发布到这里供大家学习。

24．（20分）如图所示，有一光滑轨道ABC， AB为竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道，BC部分为足够长的水平轨道。一个质量为m₁的小物体自A处由静止释放，m₁沿圆弧轨道AB滑下，与在水平轨道BC上质量为m₂的静止的物体相碰。

（1）如果m₂与水平轻弹簧相连，弹簧的另一端连在固定装置P上。m₁滑到水平轨道后与m₂发生碰撞但不粘连，碰撞后m₁与m₂一起将弹簧压缩后被弹回，m₁与m₂重新分开。若弹簧压缩和伸长过程中无机械能损失，且m₁=m₂，求m₁反弹后能达到的最大高度；

（2）如果去掉与m₂相连的弹簧及固定装置P，m₁仍从A处由静止释放。

a．若m₁=m₂，且m₁与m₂的碰撞过程中无机械能损失，求碰撞后m₁能达到的最大高度。

b．若m₁与m₂的碰撞过程中无机械能损失，要使m₁与m₂只能发生两次碰撞，求 m₂与 m₁的比值范围。

24．（20分）

（1）m₁从A滑到B重力势能转化为动能，m₁的速度达到v₁

①

m₁与m₂发生碰撞时弹簧处于自然状态，系统动量守恒，碰撞后以共同速度v_共向右运动。

v_共=
②

m₁与m₂一起将弹簧压缩后又被弹回，当弹簧恢复到自然长度时m₁与m₂重新分开，此时m₁与m₂的速度都为v_共，m₁以v_共为初速度滑上圆弧轨道，设m₁能达到的最大高度是h

解得 （5分）

（2）撤去弹簧及固定装置后。

a.
m₁与m₂发生碰撞时系统动量守恒，物理网整理，转载注明。且没有机械能损失。设向右为正方向，有

③

④

代入m₁=m₂

可得

负号表示m₁向左运动

此后m₁冲上圆弧轨道，设m₁能达到的最大高度是

将带入上式,可得 （5分）

b.
m₁滑到水平轨道以速度v₁与静止的m₂发生第一次碰撞，设向右为正方向，有

解得

要能发生第二次碰撞的条件是v₁‘<0，即m₁<m₂；且|v₁‘|＞v₂‘，即| m₁—m₂|＞2m₁，可得

m₂＞3m₁ ⑤

m₁从圆弧轨道上滑下，以速度与速度为：的m₂发生第二次碰撞，有

第二次碰后m₁和 m₂的速度

⑥

⑦

不发生第三次碰撞的条件为 ≤
，即—≤≤

则

解不等式

得
⑧

解不等式

得 m₂≥3m₁ 或
m₂≤-m₁
⑨

综合⑤、⑧、⑨，m₁与m₂只能发生两次碰撞的条件为

（10分）

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